Skillnad mellan versioner av "1.6 Aritmetisk summa och summatecknet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(68 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 10: Rad 10:
 
|}
 
|}
  
 +
 +
= <b><span style="color:red">OBS! &nbsp; &nbsp; </span><span style="color:blue">Nu går vi över från tal<span style="color:red">följder</span> till tal<span style="color:red">summor</span>.</span></b> =
 +
 +
<br>
  
 
= <b><span style="color:#931136">Aritmetisk summa = Summan av en aritmetisk talföljd</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">Aritmetisk summa = Summan av en aritmetisk talföljd</span></b> =
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 +
&nbsp; &nbsp;<big><big>Repetera [[1.5_Talföljder_och_summor#Aritmetiska_talf.C3.B6ljder|<b><span style="color:blue">Aritmetrisk talföljd</span></b>]]</big></big>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Aritm_sum.jpg]] </div>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Aritm_sum.jpg]] </div>
 
</div>
 
</div>
Rad 20: Rad 25:
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
 
<big>
 
<big>
−
Den stora bokstaven <span style="color:red">Sigma</span> i det grekiska alfabetet används i matematiken som symbol för <span style="color:red">summa</span>.
+
Den stora bokstaven <span style="color:red">Sigma</span> i det grekiska alfabetet används som symbol för <span style="color:red">summa</span>.
  
 
Man gör det för att kunna skriva långa summor på ett kompakt sätt.
 
Man gör det för att kunna skriva långa summor på ett kompakt sätt.
  
−
Rutan ovan skulle med summatecknet se ut så här:
+
Summan <math> s_n = a_1 + a_2 + ... +\,a_n </math> ovan kan skrivas med <span style="color:red">summatecknet <math> \, \sum \, </math></span>.
 +
 
 +
Då skulle den första raden i rutan ovan se ut så här:
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> abc </div>
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;">  
−
</div>
+
 
 +
<math> \quad s_n \, = \, \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \; </math>, där <math> \; a_n \; </math> är en aritmetisk följd. <math> \quad </math>
 +
</div></div>
 +
 
 +
Summatecknet läses<span>:</span> <math> \qquad </math> "Summa <math>a_k</math>, då <math>k</math> går från <math>1</math> till <math>n</math>".
 +
 
 +
<math>a_k</math> kallas '''summand''' (term), <math>1</math> det första och <math>n</math> det sista '''indexet''' (ordningsnumret).
 +
 
 +
<math>k</math> kallas '''indexvariabeln''' och kan bytas ut mot vilken annan bokstav som helst.
 +
 
 +
Samtidigt är <math>a_k</math> talföljdens allmänna term.
 +
 
 +
<u>Andra exempel<math>:</math></u>
 +
 
 +
<math>1 + 2 + 3 + \ldots + 19 + 20 \quad </math> kan skrivas kort<math>:</math> <math> \quad \displaystyle\sum_{k=1}^{20} k </math>
  
−
Om ett större antal termer ska adderas, kan summan skrivas med hjälp av summasymbolen Σ; den stora bokstaven [[sigma]] i det grekiska alfabetet. [[Jean-Baptiste Joseph Fourier|Joseph Fourier]] införde sigma som symbol för summation 1820.<ref>Concrete Mathematics, sid. 22</ref> Istället för att skriva det långa talet <math>1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20</math> kan man använda summasymbolen samman med [[uteslutningstecken]] (<math>\ldots</math>) och skriva:
+
Vill man skriva summan av alla heltal från och med 7 till och med 23 skriver man<span>:</span>
−
: <math>\sum_{k=1}^{20} k = 1 + 2 + 3 + \ldots + 19 + 20</math>
+
−
Detta utläses: "Summa ''k'', då ''k'' går från ett till tjugo". Termen ''k'' efter sigmatecknet kallas '''summand'''.
+
::::::<math>\sum_{k=7}^{23} k = 7 + 8 + 9 + \ldots + 22 + 23</math>
−
Vill man skriva summan av alla [[heltal]] från och med 7 till och med 23 skriver man:  
+
−
: <math>\sum_{k=7}^{23} k = 7 + 8 + 9 + \ldots + 22 + 23</math>
+
−
Vill man summera [[Kvadrat (aritmetik)|kvadraterna]] av alla tal från 1 till 5 skriver man:
+
−
: <math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55</math>
+
−
Ibland skrivs summationsgränserna vid sidan av summatecknet för att spara plats, exempelvis i [[bråk]]:
+
−
: <math>\frac{\sum_{k=1}^{20} k^2}{\sum_{j=1}^{20} j^3}</math>
+
  
−
Allmänt, givet en [[talföljd]] <math>a_k</math> som man vill summera från 1 till ''n'' skriver man:
+
Vill man summera t.ex. kvadraterna av alla tal från 1 till 5 skriver man<span>:</span>
−
:<math>\sum_{k=1}^n a_k\,</math>
+
::::::<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55</math>
−
Summan ovan kan även skrivas
+
−
:<math>\sum_{1 \leq k \leq n} a_k\,</math>
+
−
Rent allmänt används summatecknet för att summera en följd av tal <math>a_k</math> där ''k'' ska uppfylla något villkor <math>P(k)</math>, vilket skrivs
+
−
:<math>\sum_{P(k)} a_k\,</math>
+
−
Exempelvis kan <math>P(k)</math> vara villkoret att ''k'' är ett [[primtal]] eller ett [[Jämna och udda tal|udda tal]].
+
 
</big>
 
</big>
 
</div>
 
</div>

Nuvarande version från 18 september 2024 kl. 21.40

        <<  Förra avsnitt          Innehållsförteckning          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


OBS!     Nu går vi över från talföljder till talsummor.


Aritmetisk summa = Summan av en aritmetisk talföljd

   Repetera Aritmetrisk talföljd

Aritm sum.jpg


Summatecknet \( \; \sum \; \)

Den stora bokstaven Sigma i det grekiska alfabetet används som symbol för summa.

Man gör det för att kunna skriva långa summor på ett kompakt sätt.

Summan \( s_n = a_1 + a_2 + ... +\,a_n \) ovan kan skrivas med summatecknet \( \, \sum \, \).

Då skulle den första raden i rutan ovan se ut så här:

\( \quad s_n \, = \, \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \; \), där \( \; a_n \; \) är en aritmetisk följd. \( \quad \)

Summatecknet läses: \( \qquad \) "Summa \(a_k\), då \(k\) går från \(1\) till \(n\)".

\(a_k\) kallas summand (term), \(1\) det första och \(n\) det sista indexet (ordningsnumret).

\(k\) kallas indexvariabeln och kan bytas ut mot vilken annan bokstav som helst.

Samtidigt är \(a_k\) talföljdens allmänna term.

Andra exempel\(:\)

\(1 + 2 + 3 + \ldots + 19 + 20 \quad \) kan skrivas kort\(:\) \( \quad \displaystyle\sum_{k=1}^{20} k \)

Vill man skriva summan av alla heltal från och med 7 till och med 23 skriver man:

\[\sum_{k=7}^{23} k = 7 + 8 + 9 + \ldots + 22 + 23\]

Vill man summera t.ex. kvadraterna av alla tal från 1 till 5 skriver man:

\[\sum_{k=1}^5 k^2 = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\]







Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.6_Aritmetisk_summa_och_summatecknet&oldid=23588"