Skillnad mellan versioner av "1.1 Om tal"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(109 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Positiva tal|Teori]]}}
+
{{Selected tab|[[1.1 Om tal|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Positiva tal|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar om tal|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
Rad 8: Rad 9:
  
  
−
[[Media: Lektion_1_Positiva tal.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Positiva tal</span></strong>]]
+
[[Media: Lektion 1 Om tal Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 1 Om tal</span></strong>]]
  
 
__TOC__
 
__TOC__
  
  
−
== Talbegreppet ==
+
== <b><span style="color:#931136">Talbegreppet</span></b> ==
 +
<div class="tolv">
 +
[http://matmin.kevius.com/aritmet.php <strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>] som är vårt första kapitel i Matte <math>1</math>-kursen betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen?
 +
 
 +
Även om vi intuitivt vet vad ett tal är, vore det bra med en lite exaktare definition. Titta på bilderna nedan:
 +
 
 +
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?
  
−
[[Matte_1_Kapitel_1_Aritmetik|<strong><span style="color:blue">Aritmetik</span></strong>]] <math>-</math> vårt första kapitel i Matte <math>1</math>-kursen <math>-</math> betyder läran om tal. Men vad är tal egentligen? Titta på följande exempel:
 
  
 
[[Image: images tre katter.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: images tre hundar.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
 
[[Image: images tre katter.jpg]] <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: images tre hundar.jpg]]  <math>\qquad</math> [[Image: Lika med_65.gif]] <math>\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]]
  
−
Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om man bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för <strong><span style="color:red">talet 3</span></strong>. Tal kan alltså uppfattas som antalet saker och ting som finns i en mängd. Detta förutsätter att vi redan har lärt oss att räkna saker och ting <math>-</math> som barn. I själva verket är det en, i regel omedveten tankeprocess som ligger bakom räknandet.
 
  
−
Tankeprocessen består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt och kallas:
+
Om vi bortser från själva katter och hundar så är det ''antalet tre'' som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för <strong><span style="color:red">talet 3</span></strong>.
  
−
== Abstraktion ==
+
<strong><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></strong> kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> element, dvs ''antalet'' saker och ting som finns i en mängd.
  
−
''abstrahere'' betyder på latin: att ta bort, att dra av. Man tar bort det som skiljer tre katter från tre hundar och kommer till det som är som gemensamt hos dem: Antalet 3 eller enklare talet 3.
+
Men att definiera ''tal'' med ''antal'' är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket ''tankeprocessen'' bakom räknandet av antal, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.  
  
−
Matematik är en abstrakt vetenskap.
+
Därför pågår tankeprocessen bakom räknandet i regel omedvetet och består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt. Denna process kallas för:
  
−
Redan begreppet ''tal'' är resultatet av abstraktion i den mänskliga hjärnan: Att bortse från det som skiljer och behålla det som är gemensamt. Källan är alla verkliga objekt som omger oss.
 
  
−
Ett växande barn lär sig denna abstraktionsförmåga under sin uppväxt. Mänskligheten har lärt sig den under den historiska utvecklingen. För oss känns det som en självklarhet att skilja mellan antalet saker och ting i en mängd och mängdens andra egenskaper. Men det finns naturfolk som t.ex. betecknar i sitt språk ''två kvinnor'' med ett annat ord än ''två pilar''. De använder olika ord för samma antal när antalen används i kombination med olika objekt. Hos dem har antalet saker och ting i en mängd inte löst sig (inte abstraherats) från mängdens andra egenskaper.  
+
== <b><span style="color:#931136">Abstraktion</span></b> ==
 +
{{#NAVCONTENT:Klicka här för att läsa om abstraktion.|Abstraktion}}
  
−
Abstraktion är ett viktigt koncept i allt tänkande, så även i matematiken. Den ger oss inte bara talbegreppet. Man kan t.o.m. säga att hela matematiken består av en rad abstraktioner på olika nivåer. Vill man bli duktig i matte är det bäst att träna sin abstraktionsförmåga. Och hur gör man det? Bl.a. genom att just syssla med matematik!
 
  
 +
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
  
−
== De positiva talen ==
+
Allt vi sade ovan är sant åtminstone för den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:
−
Allt vi sade ovan är åtminstone sant om vi nöjer oss med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen, kort de positiva talen:
+
  
−
::::::::::[[Image: Positiva tal_20.gif]]
+
:::::::::&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Positiva tal_16.gif]]
  
−
dvs antalet saker och ting i en mängd <math>-</math> det som vi kan börja med att räkna med våra fingrar. Generellt är ''positiva tal'' alla tal större än 0. Till själva nollan kommer man genom att dra av samma tal från varandra, t.ex. <math> 4 - 4 = 0 </math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med 0 de s.k. ''naturliga talen:'' <math> \, 0,\,1,\,2,\,3,\,4, \ldots  \, </math>. Alla andra typer av tal (hela, rationella, reella, komplexa osv.) bygger sin konstruktion på de naturliga talen, är alltså resultat av ytterligare abstraktioner.
+
dvs antal saker och ting i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än <math> \, 0 \, </math>. Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. <math> \, 4 - 4 = 0 \, </math>. De positiva heltalen bildar tillsammans med <math> \, 0 \, </math> de s.k. <strong><span style="color:red">naturliga talen</span></strong>:
  
−
[[Image:Fig111.gif]]
+
::::::::&nbsp;[[Image: Naturliga tal_16.gif]]
  
−
== Det decimala positionssystemet ==
+
Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. <math> \, 4 - 5 = -1 \, </math> kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. <strong><span style="color:red">heltalen</span></strong>:
−
Att tänka sig ett tal eller att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att meddela det till andra dvs att tala om eller att skriva upp talet så att alla förstår, är en helt annan sak.
+
  
−
Man pratar om ''representation av tal'', dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. ''decimala positionssystemet''. ''Decimalt'' heter det därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Dvs man använder de <math> \, 10 \, </math> siffrorna för att representera alla tal:
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
  
−
::::::::::[[Image: Siffrorna 0-9.gif]]
+
:[[Image: Heltal_16.gif]]  
  
−
Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina <math> \, 10 \, </math> fingrar.
+
Delar man två heltal med varandra, t.ex. <math> \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, </math> kommer man till bråktal.
  
−
Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Allt som går över <math> \, 10 \, </math> bildas med hjälp av dessa 10. ''Positionssystem'' heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer talets <strong><span style="color:red">värde</span></strong>. Det som bestämmer värdet, de olika positionerna har fått beteckningarna ''ental'', ''tiotal'', ''hundratal'', ''tusental'' osv. Man börjar att skriva från vänster siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden. Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar längst till höger. T.ex. så här:
+
Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. <strong><span style="color:red">rationella talen</span></strong>:
 +
 
 +
::::[[Image: Rationella tal_60.jpg]]
 +
 
 +
Alla rationella tal kan skrivas i bråkform.
 +
 
 +
Tvärtom: Kan ett tal anges i bråkform är det rationellt.
 +
 
 +
Drar man däremot t.ex. roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till ett s.k. irrationellt tal<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math> \, \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>
 +
 
 +
</td>
 +
  <td><math> \qquad </math>[[Image: Taltypera_3red.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Att detta tal är irrationellt beror på att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). Därför kan <math> \, \sqrt{2} \, </math> inte längre skrivas i bråkform. De rationella talen bildar tillsammans med de irrationella talen de s.k. <strong><span style="color:red">reella talen</span></strong>.
 +
 
 +
Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> kommer man till ett s.k. imaginärt tal<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::::::::<math> \, x = \sqrt{-1} \, </math>
 +
 
 +
De reella talen bildar tillsammans med de imaginära talen de s.k. <strong><span style="color:red">komplexa talen</span></strong>.
 +
 
 +
Bilden ovan visar hur de olika taltyperna är delmängder av varandra.
 +
 +
Alla typer av tal bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå.
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Det decimala positionssystemet</span></b> ==
 +
 
 +
Så kallas vårt talsystem, som vi dagligen använder. Att räknar med tal är en sak. Att kommunicera tal så att alla förstår, är en helt annan sak. För att kunna kommunicera tal måste vi beteckna tal, dvs ge talen <math>-</math> som ju är resultat av abstraktion <math>-</math> en konkret form.
 +
 
 +
Man pratar om ''representation av tal'', dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över <math>-</math> vårt talsystem <math>-</math> är det s.k. <strong><span style="color:red">decimala positionssystemet</span></strong>. Det har visat sig att det är det enklaste sättet att kommunicera tal.
 +
 
 +
''Decimalt'' heter vårt talsystem därför att det bygger på basen <math> \, 10 \, </math> (på latin: deci). Dvs man använder de första <math> \, 10 \, </math> siffrorna:
 +
 
 +
::::::::[[Image: Siffrorna 0-9_16.gif]]
 +
 
 +
för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina <math> \, 10 \, </math> fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än <math> \, 10 \, </math> bildas med hjälp av dessa siffror <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>.  
 +
 
 +
''Positionssystem'' heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math> i talet som bestämmer siffrornas och därmed talets <strong><span style="color:red">värde</span></strong>. De olika positioner som bestämmer värdet har följande beteckningar:
 +
 
 +
::::::::* ental
 +
::::::::* tiotal
 +
::::::::* hundratal
 +
::::::::* tusental
 +
::::::::* tiotusental osv.
 +
 
 +
Man börjar med att från vänster skriva siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden.
 +
 
 +
Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar sist dvs längst till höger. T.ex.:
  
 
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
 
:::::[[Image:Fig112bk.jpg]]
  
  
−
== Exempel 1 ==
+
Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med <math> \, 10</math>-potenser läs avsnittet om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">Potenser</span></strong>]]. Kom speciellt ihåg att enligt potenslagarna <math> \, 10^0 \, = \, 1 \, </math>.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 +
 
 
I talet <math> \, 312 \, </math> är - om vi börjar från höger - siffran <math> \, 2 \, </math> pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och siffran <math> \, 3 \, </math> ett hundratal. Eftersom <math> \, 3 \, </math> är ett hundratal har siffran <math> \, 3 \, </math> värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 \, </math>. Eftersom <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal har siffran <math> \, 1 \, </math> värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>. Analogt har siffran <math> \, 2 \, </math> värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:
 
I talet <math> \, 312 \, </math> är - om vi börjar från höger - siffran <math> \, 2 \, </math> pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal och siffran <math> \, 3 \, </math> ett hundratal. Eftersom <math> \, 3 \, </math> är ett hundratal har siffran <math> \, 3 \, </math> värdet <math> \, 3 \cdot 100 </math> dvs <math> \, 300 \, </math>. Eftersom <math> \, 1 \, </math> är ett tiotal har siffran <math> \, 1 \, </math> värdet <math> \, 1 \cdot 10 \, </math> dvs <math> \, 10 \, </math>. Analogt har siffran <math> \, 2 \, </math> värdet <math> \, 2 \cdot 1 \, </math> dvs <math> \, 2 \, </math>. Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:
  
 
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, </math>  
 
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, </math>  
  
−
Man säger att <math> \, 312 \, </math> är ett sätt - det decimala positionssystemets sätt - att visa (att representera, att framställa) talets värde.
+
Man säger att <math> \, 312 \, </math> är ett sätt <math>-</math> det decimala positionssystemets sätt <math>-</math> att visa (att representera, att framställa) talets värde.
  
 
Om man i exemplet ovan istället för <math> \, 100 \, </math> skriver <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, och istället för <math> \, 10 \, </math> skriver <math> \, 10^1 \, </math>, ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser":
 
Om man i exemplet ovan istället för <math> \, 100 \, </math> skriver <math> \, 10^2 \, </math>, vilket betyder <math> \, 10 \cdot 10 \, </math>, och istället för <math> \, 10 \, </math> skriver <math> \, 10^1 \, </math>, ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser":
  
−
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, </math>  
+
:::::<math> {\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2\cdot 1 = {\color{Red} {312}} \, </math>  
 
   
 
   
 
Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet.  
 
Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet.  
 +
</div>
  
−
Om du har svårigheter att förstå detta med <math> \, 10</math>-potenser kom ihåg dina kunskaper från Högstadiet eller läs här avsnittet om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">Potenser</span></strong>]].
 
  
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
  
−
== Exempel 2 ==
+
'''Problem:'''
  
−
'''Problem:''' Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser".
+
:Ange talet <math> \, 5\,689 \, </math> som en summa av termer där varje term har formen "(siffra <math> \, 0</math>-<math>9 \, </math>) multiplicerad med <math> \, 10</math>-potenser".
  
−
'''Svar:'''
+
'''Lösning:'''
 +
 
 +
::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
 +
 
 +
'''Problem:'''
  
−
:::::<math>{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
+
:Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
:::::<math>{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0</math>
+
:De två siffrorna närmast <math> \, 4 \, </math> (första siffran i <math> \, 40\,000</math>) är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 6 \, </math>.
  
 +
:Om vi börjar med siffran <math> \, 6 \, </math> skulle den ge värdet <math> \, 60\,000 \, </math> som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare <math> \, 40\,000 \, </math>. Därför bestämmer vi oss att stanna under <math> \, 40\,000 \, </math>, då blir den första siffran i det tal vi söker, <math> \, 3 \, </math>. Då får vi <math> \, 30\,000 \, </math>.
  
−
== Exempel 3 ==
+
:För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
−
'''Problem:''' Siffrorna i talet <math> \, 96\,038 \, </math> ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt.
+
</div>
  
−
'''Svar:'''
 
−
:::::<math>39 \, 860</math>
 
  
−
'''Lösning:''' De två siffrorna närmast <math> \, 4 \, </math> (första siffran i <math> \, 40\,000</math>) är <math> \, 3 \, </math> och <math> \, 6 \, </math>. Om vi börjar med siffran <math> \, 6 \, </math> skulle den ge värdet <math> \, 60\,000 \, </math> som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare <math> \, 40\,000 \, </math>. Därför bestämmer vi oss att stanna under <math> \, 40\,000 \, </math>, då blir den första siffran i det tal vi söker, <math> \, 3 \, </math>. Då får vi <math> \, 30\,000 \, </math>. För att komma så nära <math> \, 40\,000 \, </math> som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen <math> \, 9 \, </math>. Då får vi <math> \, 39\,000 \, </math>. Den näst största siffran är <math> \, 8 \, </math>. Då blir det <math> \, 39\,800 \, </math>. Slutligen är bara <math> \, 6 \, </math> och <math> \, 0 \, </math> kvar, så att det blir <math> \, 39\,860 \, </math>.
+
== <b><span style="color:#931136">De fyra räknesättens resultat</span></b> ==
  
 +
<div class="tolv">
 +
De fyra räknesätten är räkne''operationer''. Deras ''resultat'' kallas för:
 +
</div>
  
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece
 
  
−
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b><span style="color:red">Summa</span> = resultat av addition:</b>
  
−
http://www.df.lth.se/~mikaelb/aritm/aritm-sve.html
+
:<math> {\color{White} x} 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} </math>
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Differens</span> = resultat av subtraktion:</b>
 +
 
 +
:<math> {\color{White} x} 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} </math>
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Produkt</span> = resultat av multiplikation:</b>
 +
 
 +
:<math> {\color{White} x} 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;faktorer\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} </math>
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Kvot</span> = resultat av division:</b>
 +
 
 +
:<math> {\color{White} x} 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} </math>
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php
 +
 
 +
http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm
  
 
http://www.1728.com/arith.htm
 
http://www.1728.com/arith.htm
  
−
http://edeye.com.au/learn/arithmetictraining.php
+
http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece
  
−
http://www.mult.se/mult.html
 
  
  
Rad 116: Rad 209:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 3 maj 2015 kl. 11.50

       Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt -->      


Lektion 1 Om tal


Talbegreppet

Aritmetik som är vårt första kapitel i Matte \(1\)-kursen betyder läran om talen. Men vad är ett tal egentligen?

Även om vi intuitivt vet vad ett tal är, vore det bra med en lite exaktare definition. Titta på bilderna nedan:

Självfallet är tre katter inte lika med tre hundar. Men fundera: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar?


Images tre katter.jpg \(\qquad\) Lika med 65.gif \(\qquad\) Images tre hundar.jpg \(\qquad\) Lika med 65.gif \(\qquad\) Tre 65.gif


Om vi bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kallas för talet 3.

Talet \( \, {\color{Red} n} \, \) kan alltså definieras som det enda gemensamma hos mängder som innehåller precis \( \, {\color{Red} n} \, \) element, dvs antalet saker och ting som finns i en mängd.

Men att definiera tal med antal är ju bara att byta ut ett okänt ord mot ett annat, vilket inte löser problemet att förstå talbegreppet. Det är i själva verket tankeprocessen bakom räknandet av antal, som leder till talbegreppet. Att räkna antalet saker och ting i en mängd har vi lärt oss som barn. Men hur det gick till har vi antingen glömt eller aldrig brytt oss om.

Därför pågår tankeprocessen bakom räknandet i regel omedvetet och består i att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt. Denna process kallas för:


Abstraktion

Klicka här för att läsa om abstraktion.
Abstraktion


Olika typer av tal

Allt vi sade ovan är sant åtminstone för den enklaste typen av tal, de positiva heltalen:

   Positiva tal 16.gif

dvs antal saker och ting i en mängd, t.ex. fingrarna i våra händer. Generellt är positiva tal alla tal större än \( \, 0 \, \). Till själva nollan kommer man genom att dra av två lika stora positiva tal från varandra, t.ex. \( \, 4 - 4 = 0 \, \). De positiva heltalen bildar tillsammans med \( \, 0 \, \) de s.k. naturliga talen:

 Naturliga tal 16.gif

Drar man av ett större naturligt tal från ett mindre, t.ex. \( \, 4 - 5 = -1 \, \) kommer man till negativa tal. De naturliga talen bildar tillsammans med de negativa talen de s.k. heltalen:

Heltal 16.gif

Delar man två heltal med varandra, t.ex. \( \, 1 / 3 = \displaystyle{1 \over 3} \, \) kommer man till bråktal.

Heltalen bildar tillsammans med bråktalen de s.k. rationella talen:

Rationella tal 60.jpg

Alla rationella tal kan skrivas i bråkform.

Tvärtom: Kan ett tal anges i bråkform är det rationellt.

Drar man däremot t.ex. roten ur \( \, 2 \, \) kommer man till ett s.k. irrationellt tal:

\[ \, \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots \, \]
\( \qquad \)Taltypera 3red.jpg

Att detta tal är irrationellt beror på att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period). Därför kan \( \, \sqrt{2} \, \) inte längre skrivas i bråkform. De rationella talen bildar tillsammans med de irrationella talen de s.k. reella talen.

Löser man t.ex. ekvationen \( x^2 + 1 = 0 \) kommer man till ett s.k. imaginärt tal:

\[ \, x = \sqrt{-1} \, \]

De reella talen bildar tillsammans med de imaginära talen de s.k. komplexa talen.

Bilden ovan visar hur de olika taltyperna är delmängder av varandra.

Alla typer av tal bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som vi inledningsvis introducerade talbegreppet \(-\) fast på högre nivå.


Det decimala positionssystemet

Så kallas vårt talsystem, som vi dagligen använder. Att räknar med tal är en sak. Att kommunicera tal så att alla förstår, är en helt annan sak. För att kunna kommunicera tal måste vi beteckna tal, dvs ge talen \(-\) som ju är resultat av abstraktion \(-\) en konkret form.

Man pratar om representation av tal, dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över \(-\) vårt talsystem \(-\) är det s.k. decimala positionssystemet. Det har visat sig att det är det enklaste sättet att kommunicera tal.

Decimalt heter vårt talsystem därför att det bygger på basen \( \, 10 \, \) (på latin: deci). Dvs man använder de första \( \, 10 \, \) siffrorna:

Siffrorna 0-9 16.gif

för att representera alla andra tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina \( \, 10 \, \) fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Alla tal större än \( \, 10 \, \) bildas med hjälp av dessa siffror \( \, 0\)-\(9 \, \).

Positionssystem heter vårt talsystem därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna \( \, 0\)-\(9 \, \) i talet som bestämmer siffrornas och därmed talets värde. De olika positioner som bestämmer värdet har följande beteckningar:

  • ental
  • tiotal
  • hundratal
  • tusental
  • tiotusental osv.

Man börjar med att från vänster skriva siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden.

Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar sist dvs längst till höger. T.ex.:

Fig112bk.jpg


Om du har svårigheter att förstå skrivsättet med \( \, 10\)-potenser läs avsnittet om Potenser. Kom speciellt ihåg att enligt potenslagarna \( \, 10^0 \, = \, 1 \, \).


Exempel 1

I talet \( \, 312 \, \) är - om vi börjar från höger - siffran \( \, 2 \, \) pga sin position (placering) ett ental. Nästa siffra från höger, \( \, 1 \, \) är ett tiotal och siffran \( \, 3 \, \) ett hundratal. Eftersom \( \, 3 \, \) är ett hundratal har siffran \( \, 3 \, \) värdet \( \, 3 \cdot 100 \) dvs \( \, 300 \, \). Eftersom \( \, 1 \, \) är ett tiotal har siffran \( \, 1 \, \) värdet \( \, 1 \cdot 10 \, \) dvs \( \, 10 \, \). Analogt har siffran \( \, 2 \, \) värdet \( \, 2 \cdot 1 \, \) dvs \( \, 2 \, \). Summerar man alla siffrors värden beräknas talets värde till:

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot100 + {\color{Red} 1}\cdot10 + {\color{Red} 2}\cdot1 = 300 + 10 + 2 = {\color{Red} {312}} \, \]

Man säger att \( \, 312 \, \) är ett sätt \(-\) det decimala positionssystemets sätt \(-\) att visa (att representera, att framställa) talets värde.

Om man i exemplet ovan istället för \( \, 100 \, \) skriver \( \, 10^2 \, \), vilket betyder \( \, 10 \cdot 10 \, \), och istället för \( \, 10 \, \) skriver \( \, 10^1 \, \), ser man att det bildas en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) multiplicerad med \( \, 10\)-potenser":

\[ {\color{Red} 3} \, \cdot 10^2 + {\color{Red} 1}\cdot 10^1 + {\color{Red} 2}\cdot 10^0 = 300 + 10 + 2\cdot 1 = {\color{Red} {312}} \, \]

Denna summa är en generell form för representation av tal i det decimala positionssystemet.


Exempel 2

Problem:

Ange talet \( \, 5\,689 \, \) som en summa av termer där varje term har formen "(siffra \( \, 0\)-\(9 \, \)) multiplicerad med \( \, 10\)-potenser".

Lösning:

\[{\color{Red} {5\,689}}\;=\;{\color{Red} 5}\cdot1000\,+\,{\color{Red} 6}\cdot100\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10\,+\,{\color{Red} 9}\cdot1\;=\;{\color{Red} 5}\cdot10^3\,+\,{\color{Red} 6}\cdot10^2\,+\,{\color{Red} 8}\cdot10^1\,+\,{\color{Red} 9}\cdot10^0\]


Exempel 3

Problem:

Siffrorna i talet \( \, 96\,038 \, \) ska flyttas så att man får ett femsiffrigt tal som ligger så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt.

Lösning:

De två siffrorna närmast \( \, 4 \, \) (första siffran i \( \, 40\,000\)) är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).
Om vi börjar med siffran \( \, 6 \, \) skulle den ge värdet \( \, 60\,000 \, \) som är längre bort från 40 000 än om vi börjar med 3. Detta skulle nämligen ge värdet 30 000 som är närmare \( \, 40\,000 \, \). Därför bestämmer vi oss att stanna under \( \, 40\,000 \, \), då blir den första siffran i det tal vi söker, \( \, 3 \, \). Då får vi \( \, 30\,000 \, \).
För att komma så nära \( \, 40\,000 \, \) som möjligt tar vi som nästa siffra den största, nämligen \( \, 9 \, \). Då får vi \( \, 39\,000 \, \). Den näst största siffran är \( \, 8 \, \). Då blir det \( \, 39\,800 \, \). Slutligen är bara \( \, 6 \, \) och \( \, 0 \, \) kvar, så att det blir \( \, 39\,860 \, \).


De fyra räknesättens resultat

De fyra räknesätten är räkneoperationer. Deras resultat kallas för:


Summa = resultat av addition:

\[ {\color{White} x} 12 \, + \, 4 \, = 16 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 16 \; {\rm summan.} \]

Differens = resultat av subtraktion:

\[ {\color{White} x} 12 \, - \, 4 \, = 8 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;termer\;och} \; 8 \; {\rm differensen.} \]

Produkt = resultat av multiplikation:

\[ {\color{White} x} 12 \, \cdot \, 4 \, = 48 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm och} \; 4 \; {\rm är\;faktorer\;och} \; 48 \; {\rm produkten.} \]

Kvot = resultat av division:

\[ {\color{White} x} 12 \, / \, 4 \, = 3 \quad {\rm där} \quad 12 \; {\rm är\;täljaren\;,} \; 4 \; {\rm nämnaren\;och} \; 3 \; {\rm kvoten.} \]


Internetlänkar

http://www.olleh.se/start/frageprogramMaA.php

http://www.vaksalaskolan.uppsala.se/webb/matematik-spel.htm

http://www.1728.com/arith.htm

http://www.nyteknik.se/popular_teknik/kaianders/article28993.ece





Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.1_Om_tal&oldid=22281"