Ekvationer - Versionshistorik

Taifun den 27 januari 2016 kl. 09.58

2016-01-27T09:58:12Z

Taifun: /* Olika typer av ekvationer */

2014-09-02T11:47:02Z

‎Olika typer av ekvationer

Taifun den 2 september 2014 kl. 11.45

2014-09-02T11:45:41Z

Taifun den 2 september 2014 kl. 11.43

2014-09-02T11:43:55Z

Taifun: /* Olika typer av ekvationer */

2014-09-02T11:42:43Z

‎Olika typer av ekvationer

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 11.14

2014-08-06T11:14:21Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 09.49

2014-08-06T09:49:46Z

Taifun den 4 augusti 2014 kl. 15.39

2014-08-04T15:39:13Z

Taifun den 4 augusti 2014 kl. 15.37

2014-08-04T15:37:25Z

Taifun den 4 augusti 2014 kl. 15.35

2014-08-04T15:35:21Z

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
 <!-- [[Media: Lektion 2 Fjärdegradsekvationer_2.pdf|Lektion 2 Fjärdegradsekvationer]] -->
+__NOTOC__
-__TOC__
-−
-−
 == Olika typer av ekvationer ==

@@ Rad 39: / Rad 39: @@
 * <strong><span style="color:blue">p-q-formeln:</span></strong>
 ----
-::Normalformen <math>x^2 + p\,x + q = 0\,</math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med
+::Normalformen <math>x^2 + p\,x + q = 0\,</math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med p-q formeln:
 :::<math>x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
 ----
@@ Rad 62: / Rad 61: @@
 Sådana ekvationer kallas <strong><span style="color:red">rotekvationer</span></strong>. De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
 == Rotbegreppet ==

← Äldre version		Versionen från 2 september 2014 kl. 11.45
Rad 20:		Rad 20:


−	<big>'''~~Linjär~~ ekvationer:'''</big>	+	<big>'''Linjära ekvationer:'''</big>

	:::<math> 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>		:::<math> 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 * <strong><span style="color:blue">Kvadratrotsmetoden</span></strong>
-* <strong><span style="color:blue">p-q-formeln</span></strong>
+* <strong><span style="color:blue">p-q-formeln:</span></strong>
 ----
 ::Normalformen <math>x^2 + p\,x + q = 0\,</math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med
@@ Rad 62: / Rad 62: @@
 Sådana ekvationer kallas <strong><span style="color:red">rotekvationer</span></strong>. De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
 == Rotbegreppet ==

@@ Rad 35: / Rad 35: @@
 * [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<strong><span style="color:blue">Nollproduktmeoden</span></strong>]]
-* Kvadratrotsmetoden
+* <strong><span style="color:blue">Kvadratrotsmetoden</span></strong>
-* p-q-formeln
+* <strong><span style="color:blue">p-q-formeln</span></strong>
 ----
 ::Normalformen <math>x^2 + p\,x + q = 0\,</math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med
@@ Rad 62: / Rad 62: @@
 Sådana ekvationer kallas <strong><span style="color:red">rotekvationer</span></strong>. De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
 == Rotbegreppet ==

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
 Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt <strong><span style="color:red">kvadratiska</span></strong> eller <strong><span style="color:red">2:a gradsekvationer</span></strong> därför att obekanten <math> x\, </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2\, </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte 2 har vi lärt oss att lösa 2:a gradsekvationer med följande metoder:
-* Nollproduktmeoden
+* [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<strong><span style="color:blue">Nollproduktmeoden</span></strong>]]
 * Kvadratrotsmetoden

← Äldre version		Versionen från 6 augusti 2014 kl. 09.49
Rad 57:		Rad 57:


−	<~~Big~~>'''Rotekvationer:'''</~~Big~~>	+	<big>'''Rotekvationer:'''</big>

	:::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \, + \, 1 \, = \, x </math>		:::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \, + \, 1 \, = \, x </math>

@@ Rad 147: / Rad 147: @@
 För att få en intuitiv uppfattning om falska rötter-fenomenet ritar vi graferna till funktionerna <math> y_1 = 6 x + 10\, </math> (vänsterledet i ekvationen ovan) och <math> y_2 = (x - 1)^2\, </math> (högerledet) i samma koordinatsystem:
-[[Image:RotekvKvadrerad_Ny.jpg]]
+:[[Image:RotekvKvadrerad_Ny.jpg]]
 Ekvationens lösningar kan avläsas från grafernas skärningspunkter vid <math> x_1 = 9\, </math> och <math> x_2 = -1\, </math>.
@@ Rad 188: / Rad 188: @@
 För att även här få en intuitiv uppfattning om lösningarna till den den ursprungliga rotekvationen ritar vi graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \;\;\big(</math>samma som <math> y_1 = (6 x + 10)^{1 \over 2} </math> enligt [[1.5_Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]] <math>\big)</math> och <math> y_2 = x - 1\, </math> i samma koordinatsystem:
-[[Image: Rotekvation_Ny.jpg]]
+:[[Image: Rotekvation_Ny.jpg]]
 Rotekvationens lösning kan avläsas från grafernas skärningspunkt vid <math> x = 9\, </math>.
@@ Rad 248: / Rad 248: @@
 Så här ser grafen till funktionen <math> y = x^4 - 6\,x^2 - 27 </math> ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar:
-[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
+:[[Image: 4egradsfkt.jpg]]

@@ Rad 132: / Rad 132: @@
 Vi ser att rotekvationen leder till 2:a gradsekvationen ovan. Denna kan lösas bl.a. med [[Ekvationer#Olika typer av ekvationer|<strong><span style="color:blue">p-q formeln</span></strong>]] där <math> p = -8\, </math> och <math> q = -9\, </math>:
-::::::<math>\begin{align} x^2 - 8 x - 9 & = 0                    \\
+::::::<math>\begin{align} x^2 - 8\,x - 9 & = 0                    \\
-                                x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{{\color{White}{[}}\!16 + 9}  \\
+                                 x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{{\color{White}{[}}\!16 + 9}  \\
-                                x_{1,2} & = 4 \pm 5              \\
+                                 x_{1,2} & = 4 \pm 5              \\
-                                x_1     & = 9                    \\
+                                 x_1     & = 9                    \\
-                                x_2     & = - 1                  \\
+                                 x_2     & = - 1                  \\
       \end{align}</math>
 OBS! Dessa två lösningar är inte nödvändigtvis lösningar till den ursprungliga rotekvationen utan till:
-:::::::<math> 6 x + 10 = (x - 1)^2\, </math>
+:::::::<math> 6\,x + 10 = (x - 1)^2\, </math>
 Denna ekvation fick vi när vi kvadrerade rotekvationen ovan. Den ursprungliga rotekvationens lösningar är en del av denna kvadrerade ekvationen. Det kan däremot finnas lösningar här som inte löser rotekvationen, s.k. ''falska rötter''.

@@ Rad 180: / Rad 180: @@
 Slutligen kan vi konstatera att vår rotekvation
-::::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \; + \; 1 \; = \; x </math>
+:::<math> \sqrt{{\color{White}{[}}\!6\,x + 10} \; + \; 1 \; = \; x </math>
 har den enda lösningen: