3.3 Terasspunkter - Versionshistorik

Taifun den 23 januari 2015 kl. 12.18

2015-01-23T12:18:21Z

Taifun den 23 januari 2015 kl. 12.16

2015-01-23T12:16:48Z

Taifun den 21 januari 2015 kl. 12.51

2015-01-21T12:51:32Z

Taifun den 21 januari 2015 kl. 12.50

2015-01-21T12:50:14Z

Taifun: /* Kritiska punkter */

2015-01-16T11:39:50Z

‎Kritiska punkter

Taifun den 16 januari 2015 kl. 11.36

2015-01-16T11:36:00Z

Taifun den 16 januari 2015 kl. 11.33

2015-01-16T11:33:42Z

Taifun den 16 januari 2015 kl. 11.32

2015-01-16T11:32:50Z

Taifun den 16 januari 2015 kl. 11.28

2015-01-16T11:28:51Z

Taifun den 16 januari 2015 kl. 11.25

2015-01-16T11:25:02Z

@@ Rad 77: / Rad 77: @@
 Funktionen <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> {\color{White} x} x = a {\color{White} x} </math> om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> och <math> {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. </math>
 ----
-Om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> kan endast ett teckenstudium avgöra den [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritiska punktens</span></strong>]] typ.
+Om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> kan ett teckenstudium avgöra den [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritiska punktens</span></strong>]] typ.
 </big></div>

@@ Rad 77: / Rad 77: @@
 Funktionen <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> {\color{White} x} x = a {\color{White} x} </math> om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> och <math> {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. </math>
 ----
-Om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> har funktionen ingen terasspunkt i <math> {\color{White} x} x = a {\color{White} x} </math>.
+Om <math> {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} </math> kan endast ett teckenstudium avgöra den [[3.3_Terasspunkter#Kritiska_punkter|<strong><span style="color:blue">kritiska punktens</span></strong>]] typ.
 </big></div>

@@ Rad 31: / Rad 31: @@
 &nbsp;&nbsp; 1a. &nbsp; Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> andraderivatan <math> \, = \, 0 \, </math>
-* &nbsp;&nbsp; Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> andraderivatan <math> \, = \, 0 \, </math>.
+&nbsp;&nbsp; 2a. &nbsp; Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
-−
-* &nbsp;&nbsp; Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
 Dessa alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata är <math> \, 0 \, </math> eller om derivatan är <math> \, 0 \, </math> och bibehåller sitt tecken kring nollstället?

← Äldre version		Versionen från 21 januari 2015 kl. 12.50
Rad 28:		Rad 28:

	Båda metoder utesluter följande alternativ:		Båda metoder utesluter följande alternativ:
		+
		+	1a.   Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> andraderivatan <math> \, = \, 0 \, </math>

	*    Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> andraderivatan <math> \, = \, 0 \, </math>.		*    Funktionens derivata <math> \, = \, 0 \, </math> <math> {\color{White} {xx}} </math> och <math> {\color{White} {xx}} </math> andraderivatan <math> \, = \, 0 \, </math>.

@@ Rad 257: / Rad 257: @@
 == Kritiska punkter ==
-* Maxima
+:* Maxima
-* Minima
+:* Minima
-* Terasspunkter
+:* Terasspunkter
 kallas <strong><span style="color:red">kritiska punkter</span></strong>, ibland även stationära punkter. Stationära, därför att kurvan stannar av i dessa punkter, dvs är varken växande eller avtagande. Algebraiskt är kriteriet för kritiska punkter att derivatan är <math> \, 0 \, </math>.

@@ Rad 56: / Rad 56: @@
 Som exemplet ovan visar är det inte svårt att arbeta med <div style="border:1px solid black;
 	display:inline-block !important;
-	margin-left: 5px !important;
+	margin-left: 7px !important;
 	padding:10px 10px 10px 10px;
 	-webkit-border-radius: 10px;"><strong>tredjederivatan</strong></div> &nbsp; som är inget annat än andraderivatans derivata:
@@ Rad 63: / Rad 63: @@
            \end{array}</math>
-Varje deriveringssteg förenklar ju förra stegets algebraiska uttryck. Vi behöver inte rita grafen till tredjederivatan <math> \, f'''(x) = 6 </math>, för den är ju alltid <math> \neq 0 \, </math> och därmed även för <math> \, x = 0 \, </math>. Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.
+Varje deriveringssteg förenklar ju förra stegets algebraiska uttryck. Vi behöver inte rita grafen till tredjederivatan, för den är ju alltid <math> 6 \neq 0 \, </math> och därmed även för <math> \, x = 0 \, </math>. Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.

@@ Rad 58: / Rad 58: @@
 	margin-left: 5px !important;
 	padding:10px 10px 10px 10px;
-	-webkit-border-radius: 10px;"><strong>tredjederivatan</strong></div> som är inget annat än andraderivatans derivata:
+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong>tredjederivatan</strong></div> &nbsp; som är inget annat än andraderivatans derivata:
-−
 ::::<math>\begin{array}{rcl}  f''(x) & = & 6\,x  \\
                               f'''(x) & = & 6\

@@ Rad 52: / Rad 52: @@
 Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i <math> \, x = 0 \, </math>. Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär <math> \, x</math>-axeln utan bara berör den. Med andra ord, <math> \, x = 0 \, </math> är en [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<strong><span style="color:blue">dubbelrot</span></strong>]] till andragradsfunktionen <math> \, f'(x) = 3\,x^2 \, </math>. Detta innebär att derivatan inte byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math> dvs är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv på båda sidor av sitt nollställe innebär i sin tur att själva funktionen <math> \, f(x) = x^3 \, </math> är växande både till vänster om och till höger om <math> \, x = 0 \, </math> <math>-</math> vilket är ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av derivatans dubbelrot är att andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>:
-Bilden till höger visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>:
+Bilden till höger visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>.
 Som exemplet ovan visar är det inte svårt att arbeta med <div style="border:1px solid black;
@@ Rad 58: / Rad 58: @@
 	margin-left: 10px !important;
 	padding:10px 10px 10px 10px;
-	-webkit-border-radius: 10px;"><strong>tredjederivatan</strong></div> som är inget annat än andraderivatans derivata. Varje deriveringssteg förenklar ju det algebraiska uttryck som definierar den ursprungliga funktionen.
+	-webkit-border-radius: 10px;"><strong>tredjederivatan</strong></div> som är inget annat än andraderivatans derivata:
-Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan <math> \, f'''(x) = 6 </math>, men den är alltid <math> \neq 0 \, </math> och därmed även för <math> \, x = 0 \, </math>. Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.
+::::<math>\begin{array}{rcl}  f''(x) & = & 6\,x  \\

@@ Rad 53: / Rad 53: @@
 Bilden till höger visar att även andraderivatan är <math> \, 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>. Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär <math> \, x</math>-axeln dvs byter tecken kring <math> \, x = 0 \, </math>. I självaste punkten <math> \, x = 0 \, </math> är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att <math> \, x = 0 \, </math> inte är någon extrempunkt för funktionen <math> \, f(x) = x^3 -</math> ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är <math> \, \neq 0 \, </math> i <math> \, x = 0 \, </math>:
 Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan <math> \, f'''(x) = 6 </math>, men den är alltid <math> \neq 0 \, </math> och därmed även för <math> \, x = 0 \, </math>. Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara <math> \, 0 \, </math> är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.
@@ Rad 83: / Rad 89: @@
 Vi ser att <math> f'(0) = f''(0) = 0 </math> och <math> f'''(0) \neq 0 </math>. Enligt regeln ovan drar vi slutsatsen att funktionen <math> f(x)\, </math> har en <strong><span style="color:red">terasspunkt</span></strong> i <math> \, x = 0 </math>.