2.7 Numerisk derivering - Versionshistorik

Taifun den 8 februari 2015 kl. 14.17

2015-02-08T14:17:49Z

Taifun den 8 februari 2015 kl. 14.16

2015-02-08T14:16:41Z

Taifun den 8 februari 2015 kl. 14.01

2015-02-08T14:01:43Z

Taifun den 8 februari 2015 kl. 14.00

2015-02-08T14:00:25Z

Taifun: /* Varför numerisk derivering? */

2014-11-26T12:58:37Z

‎Varför numerisk derivering?

Taifun: /* Varför numerisk derivering? */

2014-11-26T12:56:11Z

‎Varför numerisk derivering?

Taifun: /* Varför numerisk derivering? */

2014-11-26T12:55:42Z

‎Varför numerisk derivering?

Taifun: /* Varför numerisk derivering? */

2014-11-26T12:54:44Z

‎Varför numerisk derivering?

Taifun den 26 november 2014 kl. 12.50

2014-11-26T12:50:34Z

Taifun den 25 november 2014 kl. 22.31

2014-11-25T22:31:54Z

@@ Rad 5: / Rad 5: @@
 {{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
 {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Losningar Diagnos Ma3 kap 2a.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
+{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 2 Derivata|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}

@@ Rad 4: / Rad 4: @@
 {{Selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Teori]]}}
 {{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov Matte 3 kap 2b.pdf|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
+{{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
 {{Not selected tab|[[Media: Losningar Diagnos Ma3 kap 2a.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;

@@ Rad 5: / Rad 5: @@
 {{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
 {{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov Matte 3 kap 2b.pdf|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Lösningar Diagnos Ma3c kap 2.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
+{{Not selected tab|[[Media: Losningar Diagnos Ma3 kap 2a.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}

@@ Rad 4: / Rad 4: @@
 {{Selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Teori]]}}
 {{Not selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov Ma3c kap 2.pdf|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
+{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov Matte 3 kap 2b.pdf|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
 {{Not selected tab|[[Media: Lösningar Diagnos Ma3c kap 2.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;

@@ Rad 192: / Rad 192: @@
 '''1)'''&nbsp;&nbsp;T.ex. följande funktion ska deriveras:
-:::::<math> f(x) = {1 \over x + 1} </math>
+::::<math> f(x) = {1 \over x + 1} </math>
 :Vi konstaterar att den inte matchar mot någon funktionstyp i vår [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Uppdaterad_tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">deriveringstabell</span></strong>]]. <math> \, f(x) </math> kan inte skrivas om till en potens med basen <math> \, x </math>, vilket vi t.ex. kunde göra med <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> genom att skriva om den till <math> y = \, x^{-1} </math>. Sedan kunde vi använda deriveringsregeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">potensfunktioner, Exempel 2</span></strong>]] på denna omskrivna formen <math> y = \, x^{-1} </math>. Eftersom en sådan omskrivning inte går att göra med funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1}\, </math> kan den inte deriveras med denna regel. Inte heller med någon annan av de deriveringsregler vi känner till hittills. Det är nämnaren <math>\, x + 1 </math> som gör att uttrycket inte kan skrivas om till en potens med basen <math> \, x </math>. Visserligen går det att skriva om så här<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1} = (x + 1)^{-1} </math>, men basen här är inte <math> \, x </math> utan <math> \, x + 1 </math>.
@@ Rad 198: / Rad 198: @@
 :Funktionen i fråga kan anses som en kvot av två funktioner, nämligen <math> \, g(x) = 1 </math> och <math> \, h(x) = x + 1 </math>. En deriveringsregel för en kvot av funktioner, den s.k. [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">kvotregeln</span></strong>]] som skulle kunna användas här, kommer vi att lära oss först i Matte 4-kursen.
-:Ett annat exempel är funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over e^x + 1}\, </math> som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell <math>-</math> av liknande anledning som exemplet ovan. Även den går att derivera med hjälp av kvotregeln.
+:Ett annat exempel är funktionen:
-:Ytterligare ett exempel är <math> f(x) = \ln x\, </math> som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. I [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_f.C3.B6r_bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">Exempel för bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] visades hur man kunde derivera <math> \ln x </math> numeriskt.
+::::<math> f(x) = \displaystyle {1 \over e^x + 1}\, </math>
 ----

← Äldre version		Versionen från 26 november 2014 kl. 12.56
Rad 189:		Rad 189:

	I vilka situationer ska man använda numerisk derivering? Vi ska titta på den numeriska deriveringens användningsområden:		I vilka situationer ska man använda numerisk derivering? Vi ska titta på den numeriska deriveringens användningsområden:
−	~~----~~
−

	'''1)'''  T.ex. följande funktion ska deriveras:		'''1)'''  T.ex. följande funktion ska deriveras:

@@ Rad 206: / Rad 206: @@
-'''2)'''&nbsp;&nbsp;När vi har en funktion vars derivata blir så komplicerad att det tar mer tid att ställa upp den än att derivera numeriskt, kan det vara bra att ha möjligheten till numerisk derivering. Exempel:
+'''2)'''&nbsp;&nbsp;När vi ska derivera en funktion som saknar algebraisk formel och är endast given i <strong><span style="color:red">tabellform</span></strong>, dvs numeriskt, finns det ingen annan möjlighet än att derivera den numeriskt.
-−
-:::::<math> f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \qquad\qquad\qquad\qquad f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} </math>
-−
-:För det första är det inte enkelt att ställa upp <math> f\,'(x) </math>. Även här skulle [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">kvotregeln</span></strong>]] behövas samt deriveringsreglerna för sinus- och cosinusfunktioner.
-−
-:För det andra ser man att det är väsentligt enklare att beräkna t.ex. <math> f(2)\, </math> än <math> f\,'(2) </math>. I de numeriska deriveringsformlerna ingår nämligen endast beräkningar av <math> f(x)\, </math>, inte av <math> f\,'(x) </math>.
-----
-−
-−
-'''3)'''&nbsp;&nbsp;När vi ska derivera en funktion som saknar algebraisk formel och är endast given i <strong><span style="color:red">tabellform</span></strong>, dvs numeriskt, finns det ingen annan möjlighet än att derivera den numeriskt.
 :Som exempel tar vi den funktion i tabellform som vi behandlade i aktiviteten [[2.1_Introduktion_till_derivatan|<strong><span style="color:blue">Introduktion till derivatan</span></strong>]] och som beskriver kroppens rörelse vid hopp från 10 meters torn. Låt oss här anta att vi inte tagit fram den från någon formel. <math> x\, </math> är tiden och <math> f(x)\, </math> höjden över vattnet:
@@ Rad 226: / Rad 216: @@
 :Även en sådan funktion har en derivata, både i varje punkt (av sitt definitionsområde) och som en ny funktion. Men i båda fall kan derivatan tas fram endast numeriskt. Vi hade gjort detta i aktiviteten [[2.1_Introduktion_till_derivatan|<strong><span style="color:blue">Introduktion till derivatan</span></strong>]]. Den nya funktionen som representerar derivatan hade vi approximerat numeriskt genom att använda [[2.7_Numerisk_derivering#Fram.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">framåtdifferenskvoten</span></strong>]], där formulerad som <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} </math>. Resultatet visades i [[2.1_Lösning_till_Aktiviteten_Introduktion_till_derivatan|<strong><span style="color:blue">Lösningen till aktiviteten</span></strong>]] både i tabellform (punkt 4) och grafiskt (punkt 6). Även om resultatet var approximativt visade grafen tydligt att den ursprungliga kvadratiska funktionens derivata var en linjär funktion.

@@ Rad 189: / Rad 189: @@
 I vilka situationer ska man använda numerisk derivering? Vi ska titta på den numeriska deriveringens användningsområden:
 '''1)'''&nbsp;&nbsp;T.ex. följande funktion ska deriveras:
-:::::<math> f(x) = {1 \over x + 1} </math>
+::::<math> f(x) = {1 \over x + 1} </math>
 :Vi konstaterar att den inte matchar mot någon funktionstyp i vår [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Uppdaterad_tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">deriveringstabell</span></strong>]]. <math> \, f(x) </math> kan inte skrivas om till en potens med basen <math> \, x </math>, vilket vi t.ex. kunde göra med <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> genom att skriva om den till <math> y = \, x^{-1} </math>. Sedan kunde vi använda deriveringsregeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">potensfunktioner, Exempel 2</span></strong>]] på denna omskrivna formen <math> y = \, x^{-1} </math>. Eftersom en sådan omskrivning inte går att göra med funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1}\, </math> kan den inte deriveras med denna regel. Inte heller med någon annan av de deriveringsregler vi känner till hittills. Det är nämnaren <math>\, x + 1 </math> som gör att uttrycket inte kan skrivas om till en potens med basen <math> \, x </math>. Visserligen går det att skriva om så här<span style="color:black">:</span> <math> \, f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1} = (x + 1)^{-1} </math>, men basen här är inte <math> \, x </math> utan <math> \, x + 1 </math>.
@@ Rad 201: / Rad 200: @@
 :Ett annat exempel är funktionen:
-:::::<math> f(x) = \displaystyle {1 \over e^x + 1}\, </math>
+::::<math> f(x) = \displaystyle {1 \over e^x + 1}\, </math>
 :som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell <math>-</math> av liknande anledning som exemplet ovan. Även den går att derivera med hjälp av kvotregeln.
@@ Rad 207: / Rad 206: @@
 :Ytterligare ett exempel är:
-:::::<math> f(x) = \ln x\, </math>
+::::<math> f(x) = \ln x\, </math>
 :som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. I [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_f.C3.B6r_bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">Exempel för bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] visades hur man kunde derivera <math> \ln x </math> numeriskt.