2.6 Derivatan av exponentialfunktioner - Versionshistorik

Taifun den 24 november 2014 kl. 12.01

2014-11-24T12:01:41Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 12.00

2014-11-24T12:00:20Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.55

2014-11-24T11:55:19Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.53

2014-11-24T11:53:19Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.52

2014-11-24T11:52:39Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.16

2014-11-24T11:16:40Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.15

2014-11-24T11:15:41Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.14

2014-11-24T11:14:41Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 11.02

2014-11-24T11:02:02Z

Taifun den 24 november 2014 kl. 10.59

2014-11-24T10:59:27Z

← Äldre version		Versionen från 24 november 2014 kl. 12.01
Rad 33:		Rad 33:
	::::::::<math> \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots </math>		::::::::<math> \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots </math>

−	Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel.	+	Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel. Men först ska vi försöka med derivatans definition:

@@ Rad 18: / Rad 18: @@
 Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
-Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:
+Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Därför lyder frågeställningen:
 <div style="border:1px solid black;

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
 == Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x </math> ==
-Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math> och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
+Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
 Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
 == Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x </math> ==
-Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math> och sedan gå över till godtycklig bas <math> \a, </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
+Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math> och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
 Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
 == Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x </math> ==
-Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
+Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math> och sedan gå över till godtycklig bas <math> \a, </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1.
 Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:

← Äldre version		Versionen från 24 november 2014 kl. 11.16
Rad 9:		Rad 9:


−	[[~~File~~: Lektion 21 Deriv Expfkt Rutaa.pdf\|<strong><span style="color:blue">Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]	+	[[Media: Lektion 21 Deriv Expfkt Rutaa.pdf\|<strong><span style="color:blue">Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]]

	__TOC__		__TOC__

← Äldre version		Versionen från 24 november 2014 kl. 11.02
Rad 114:		Rad 114:
	== Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> ==		== Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> ==

		+	Vi har det generella resultatet:

@@ Rad 113: / Rad 113: @@
 == Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> ==
@@ Rad 118: / Rad 119: @@
 <b>Derivatan av exponentialfunktionen <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> med godtycklig bas <math> \, a > 0 </math> och <math> C,\,k = {\rm const.} </math></b>
-::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y    & = & C\,a\,^{k\,x}  \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\,C,\,k = {\rm const.} \\
+::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y    & = & C\,a\,^{k\,x}  \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\
                               {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a
           \end{array}</math>