2.4 Derivatans definition - Versionshistorik

Taifun den 3 december 2014 kl. 13.46

2014-12-03T13:46:23Z

2014-12-03T13:45:43Z

2014-12-03T13:42:44Z

2014-11-21T10:17:59Z

2014-11-05T12:16:51Z

2014-11-05T12:15:48Z

2014-11-05T12:14:27Z

2014-11-05T12:07:29Z

‎Exempel Oljetank

2014-11-05T11:49:32Z

2014-11-05T11:47:51Z

@@ Rad 171: / Rad 171: @@
 </table>
-Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2.1_Lösning_till_Aktiviteten_Introduktion_till_derivata|<strong><span style="color:blue">Aktivitet</span></strong> (Lösning, punkt 7)]] approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.
+Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2.1_Lösning_till_Aktiviteten_Introduktion_till_derivata|<strong><span style="color:blue">Aktivitet</span></strong> (Lösning, punkt 6)]] approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.
 I efterhand kan vi nu verifiera det i [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank</span></strong>]] beräknade värdet av <math> f\,(x)</math>:s derivata i punkten <math> \, x = 0 </math> genom att sätta in <math> \, x = 0 </math> i derivatans funktion <math> f\,'\,(x) = 8\,x - 380 </math>:

@@ Rad 171: / Rad 171: @@
 </table>
-Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2.1 Lösning till Aktiviteten Introduktion till derivatan|<strong><span style="color:blue">Aktivitet</span></strong> (Lösning, punkt 7)]] approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.
+Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2.1_Lösning_till_Aktiviteten_Introduktion_till_derivata|<strong><span style="color:blue">Aktivitet</span></strong> (Lösning, punkt 7)]] approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.
 I efterhand kan vi nu verifiera det i [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank</span></strong>]] beräknade värdet av <math> f\,(x)</math>:s derivata i punkten <math> \, x = 0 </math> genom att sätta in <math> \, x = 0 </math> i derivatans funktion <math> f\,'\,(x) = 8\,x - 380 </math>:

@@ Rad 163: / Rad 163: @@
 	-webkit-border-radius: 5px;
 	-moz-border-radius: 5px;
-	border-radius: 5px;"><big>Derivatan av kvadratiska funktioner är linjära.</big>
+	border-radius: 5px;"><big>Derivatan av andragradsfunktioner är linjära.</big>
 </div>

@@ Rad 43: / Rad 43: @@
 </tr>
 </table>
 == Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet ==

← Äldre version		Versionen från 5 november 2014 kl. 12.16
Rad 77:		Rad 77:
	Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.		Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.

−	En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>. Vi ska nu titta närmare på denna geometriska tolkning av derivatan~~, se grafen ovan~~.	+	En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>. Vi ska nu titta närmare på denna geometriska tolkning av derivatan.

← Äldre version		Versionen från 5 november 2014 kl. 12.15
Rad 77:		Rad 77:
	Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.		Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.

−	En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>~~. Det är den geometriska tolkningen av derivatan, se grafen ovan~~. Vi ska nu titta närmare på ~~den~~ geometriska ~~tolkningen~~ av derivatan.	+	En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>. Vi ska nu titta närmare på denna geometriska tolkning av derivatan, se grafen ovan.

← Äldre version		Versionen från 5 november 2014 kl. 12.14
Rad 77:		Rad 77:
	Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.		Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.

−	En ~~geometrisk~~ tolkning av derivatan ~~vore~~ <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>, se grafen ovan. Vi ska nu titta närmare på den geometriska tolkningen av derivatan.	+	En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>. Det är den geometriska tolkningen av derivatan, se grafen ovan. Vi ska nu titta närmare på den geometriska tolkningen av derivatan.

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 För det är då utströmningshastigheten är störst, dvs det är då kurvan är brantast.
-För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och <br> går sedan över till den <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> genom att låta intervallängden gå mot <math> 0\, </math>.
+För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och <br> låter sedan intervallängden gå mot <math> 0\, </math> för att få den <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastigheten i <math> x = 0\, </math>.
 </td>

@@ Rad 58: / Rad 58: @@
 :::<math> {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 </math>
-I detta uttryck låter vi nu <math> h\, </math> gå mot <math> 0\, </math> för att få oljans <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastighet i <math> x = 0\, </math>. Dvs vi beräknar gränsvärdet:
+Nu låter vi i detta uttryck <math> h\, </math> gå mot <math> 0\, </math> för att få oljans <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastighet i <math> x = 0\, </math>. Dvs vi beräknar gränsvärdet:
 :::<math> \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 </math>

@@ Rad 52: / Rad 52: @@
 I exemplet Oljetank är <math> \,x_1 = 0 </math>. Då har vi:
-:::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0 + h </math>
+:::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math>
-−
-:::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math>
 I denna formel sätter vi in <math> f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>. Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math>: