2.3 Gränsvärde - Versionshistorik

Taifun den 16 maj 2015 kl. 21.41

2015-05-16T21:41:27Z

Taifun den 16 maj 2015 kl. 21.37

2015-05-16T21:37:53Z

Taifun den 3 november 2014 kl. 11.50

2014-11-03T11:50:17Z

Taifun den 3 november 2014 kl. 11.45

2014-11-03T11:45:06Z

Taifun: /* Gränsvärde av en funktion */

2014-11-03T11:43:16Z

‎Gränsvärde av en funktion

Taifun: /* Gränsvärde av en funktion */

2014-11-03T11:41:36Z

‎Gränsvärde av en funktion

Taifun: /* Gränsvärde av en funktion */

2014-11-03T11:38:08Z

‎Gränsvärde av en funktion

Taifun: /* Gränsvärde av en funktion */

2014-11-03T11:35:58Z

‎Gränsvärde av en funktion

Taifun den 3 november 2014 kl. 11.33

2014-11-03T11:33:36Z

Taifun den 3 november 2014 kl. 11.32

2014-11-03T11:32:30Z

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 {{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|<-- Förra avsnitt]]}}
-{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Teori]]}}
+{{Selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[2.3 Övningar till Gränsvärde|Övningar]]}}
 {{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|Nästa avsnitt -->]]}}

← Äldre version		Versionen från 16 maj 2015 kl. 21.37
Rad 303:		Rad 303:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2011-~~2014 Taifun Alishenas~~. All Rights Reserved.	+
		+
		+
		+
		+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

← Äldre version		Versionen från 3 november 2014 kl. 11.50
Rad 91:		Rad 91:


−	Funktionen går mot två olika håll ~~för~~ <math> \, x = 2 </math>. Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma <math> \,x </math> är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.	+	Funktionen går mot två olika håll när <math> \, x \to 2 </math>. Men att gränsvärdet inte kan ha två olika värden för ett och samma <math> \,x </math> är uppenbart. Limes måste ha ett entydigt värde, annars existerar den inte.

	Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord:		Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord:

@@ Rad 58: / Rad 58: @@
 </big></big>
 </div>
 == Existens av gränsvärden ==

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 ::::::::::::::::::::<math> {\color{White} x} {\rm Gränsvärdet\;\,för} \; {10 \over x\,-\,2} \quad {\rm då} \; x \; {\rm går\;mot} \, \infty \quad {\rm är} \; 0 \;{\rm .}</math>
-Förkortningen&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">lim</span></strong>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">Limes</span></strong>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.
+Förkortningen&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">lim</span></strong>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">Limes</span></strong>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns.
 <big>'''Vad händer med <math> \,y </math> när <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>

@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 <big>'''Vad händer med <math> \,y </math> när <math> {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
-Som grafen visar närmar sig kurvan <math>\, x</math>-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot <math> 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> 0\, </math> någon gång. <math> f(x)\, </math> blir allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. <math> \,y </math> närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli <math> 0\, </math>. Ett sätt att beskriva detta beteende är:
+Som grafen visar närmar sig kurvan <math>\, x</math>-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot <math> 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> 0\, </math> någon gång. <math> f(x)\, </math> blir allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. <math> \,y </math> närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Därför har funktionen inget nollställe.
 ::<math> {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \qquad {\color{White} x} {\rm vilket\;läses\;så\;här:} {\color{White} x} \qquad {10 \over x\,-\,2} \;\, {\rm går\;mot} \;\, 0 \quad {\rm när} \quad x \;\, {\rm går\;mot} \;\, \infty </math>

@@ Rad 23: / Rad 23: @@
 :::::::::::::::<big><b> <strong><span style="color:red">Vad händer med funktionen när </span></strong> <math> {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} x} </math> <strong><span style="color:red">och</span></strong> <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} x} </math><strong><span style="color:red">?</span></strong> </b></big>
-<big>'''Vad händer när <math> {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
+<big>'''Vad händer med <math> \,y </math> när <math> {\color{White} x} x \to \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
 Som grafen visar närmar sig kurvan <math>\, x</math>-axeln utan att skära eller ens beröra den. Dvs funktionen går mot <math> 0\, </math> utan att nå själva värdet <math> 0\, </math> någon gång. <math> f(x)\, </math> blir allt mindre ju större <math> x \, </math> blir. Funktionen närmar sig <math> 0\, </math> när <math> x \, </math> växer både i positiv och negativ riktning. Kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Därför har funktionen inget nollställe. Detta bekräftas av funktionsuttrycket: Täljaren är konstanten <math> 10\, </math> som aldrig kan bli <math> 0\, </math>. Därför kan hela funktionsuttrycket aldrig bli <math> 0\, </math>. Ett sätt att beskriva detta beteende är:
@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 Förkortningen&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">lim</span></strong>&nbsp;&nbsp;står för det latinska ordet&nbsp;&nbsp;<strong><span style="color:red">Limes</span></strong>&nbsp;&nbsp; som betyder gräns. Limesbegreppet är centralt i matematiken och kommer att användas i nästa avsnitt för att definiera derivatan.
-<big>'''Vad händer när <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
+<big>'''Vad händer med <math> \,y </math> när <math> {\color{White} x} x \to - \infty {\color{White} |}</math>?'''</big>
 Grafen visar ett ganska liknande beteende när <math> x \, </math> går mot "stora" negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: Även där går <math> f(x)\, </math> mot <math> 0\, </math> när <math> x\, </math> går mot <math> {\color{Red} {- \infty}} </math>. I termer av limes:
@@ Rad 54: / Rad 54: @@
 </big></big>
 </div>
 == Existens av gränsvärden ==