1.3 Fördjupning till Rationella uttryck - Versionshistorik

Taifun den 10 september 2014 kl. 12.09

2014-09-10T12:09:08Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 12.05

2014-09-10T12:05:00Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 12.01

2014-09-10T12:01:44Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 11.57

2014-09-10T11:57:36Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 11.56

2014-09-10T11:56:32Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 11.54

2014-09-10T11:54:44Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 11.51

2014-09-10T11:51:57Z

Taifun den 10 september 2014 kl. 11.50

2014-09-10T11:50:12Z

Taifun: /* Exempel 2 */

2014-09-10T11:41:23Z

‎Exempel 2

Taifun: /* Exempel 1 */

2014-09-10T11:35:22Z

‎Exempel 1

← Äldre version		Versionen från 10 september 2014 kl. 12.09
Rad 169:		Rad 169:
	::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>		::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>

−	När <math> x\, </math> närmar sig <math> -1\, </math> eller <math> 1\, </math> går <math>y_2\,</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1\, </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1\, </math>, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reella lösningar. Däremot går det i <math> y_2\, </math> att faktorisera så här <math> (x^2 - 1) = (x + 1) \cdot (x - 1) </math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0\, </math> har lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = 1\, </math>.	+	När <math> x\, </math> närmar sig <math> -1\, </math> eller <math> 1\, </math> går <math>y_2\,</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1\, </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1\, </math> inom ramen av reella tal, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reella lösningar. Däremot går det i <math> y_2\, </math> att faktorisera så här <math> (x^2 - 1) = (x + 1) \cdot (x - 1) </math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0\, </math> har lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = 1\, </math>.

@@ Rad 125: / Rad 125: @@
 == Rationella funktioner ==
-Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda med dem funktioner genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. <math> y\, </math>. Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer.
+Ett bra sätt att studera rationella uttryck är att bilda funktioner med dem genom att tilldela dem en annan variabel, t.ex. <math> y\, </math>. Fördelen med funktioner är är att man kan visualisera dem med grafer.
 ==== Exempel 1 ====

← Äldre version		Versionen från 10 september 2014 kl. 12.01
Rad 117:		Rad 117:
	::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>		::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>

−	Men det finns inget tal <math> {\color{Red~~} x} </math> så att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 {\color{White~~} x} </math> därför att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 </math>.	+	Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 </math>.

@@ Rad 97: / Rad 97: @@
 Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
-:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
+:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad\, {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
 Och läses så här <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot <math> \infty </math> när <math> x\, </math> går mot <math> 0\, </math>.

@@ Rad 95: / Rad 95: @@
 :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
-Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol.
+Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
-Korrekt ser det ut så här:
+:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
-−
-:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\; {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
 Och läses så här <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot <math> \infty </math> när <math> x\, </math> går mot <math> 0\, </math>.

@@ Rad 93: / Rad 93: @@
 <math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Men det är <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att skriva:
-::::::<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
+:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
 Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol.

@@ Rad 93: / Rad 93: @@
 <math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Men det är <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att skriva:
-::::::<math> {1 \over 0} = \infty </math>
+::::::<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
 Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol.
@@ Rad 150: / Rad 150: @@
 Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> x\, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla <math> x\, </math>.
 ==== Exempel 2 ====
@@ Rad 171: / Rad 172: @@
 När <math> x\, </math> närmar sig <math> -1\, </math> eller <math> 1\, </math> går <math>y_2\,</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1\, </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1\, </math>, för ekvationen <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reella lösningar. Däremot går det i <math> y_2\, </math> att faktorisera så här <math> (x^2 - 1) = (x + 1) \cdot (x - 1) </math>, för ekvationen <math> x^2 - 1 = 0\, </math> har lösningarna <math> x_1 = -1\, </math> och <math> x_2 = 1\, </math>.
 == Hävbara och icke-hävbara diskontinuiteter ==

@@ Rad 154: / Rad 154: @@
 Genom att understryka orden <u>för vissa</u> <math> x\, </math> ovan vill vi säga att det är bara några isolerade <math>\,x</math>-värden för vilka en rationell funktion <u>kan</u> vara odefinierad. Antalet sådana <math>\,x</math>-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, <math>\ldots</math>. Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några <math> x\, </math> för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla <math> x\, </math> precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:
 ::::::::<math> y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math>
-Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla <math> x\, </math> är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1\, </math> inte har några reella nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning därför att den ger <math> x^2 = -1\, </math> och roten ur <math> -1\, </math> inte är ett reellt tal. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> (övre kurvan) visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla <math> x\, </math>:
+Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla <math> x\, </math> är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1\, </math> inte har några reella nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0\, </math> saknar reell lösning därför att den ger <math> x^2 = -1\, </math> och roten ur <math> -1\, </math> inte är ett reellt tal. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla <math> x\, </math> (övre kurvan) :
 ::[[Image: 14Rat_fkt_utan_med_disk.jpg]]
 I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion <math>y_2\,</math> som skiljer sig från <math>y_1\,</math> endast i ett förtecken i nämnaren:
-:::::::<math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
 Av samma skäl som nämndes för uttryck är denna funktion definierad för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>.
-+++
+Skillnaden endast i ett förtecken i nämnaren räcker för att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1\, </math> eller för <math> x_2 = 1\, </math>:
-::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
-−
 Skillnaden i ett förtecken i nämnaren räcker för att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1\, </math> eller för <math> x_2 = 1\, </math>:
 ::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>

@@ Rad 147: / Rad 147: @@
 Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <strong><span style="color:red">kontinuerlig</span></strong>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid <math> x = 0\, </math> pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i <math> x = 0\, </math>. Man säger att funktionen är <strong><span style="color:red">icke-kontinuerlig</span></strong> i <math> x = 0\, </math>.
-Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> inte har något värde för <math> x = 0\, </math>. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När <math> x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> är <strong><span style="color:red">inte definierad för </span></strong> <math> {\color{Red} x = 0}\, </math>. Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd, dvs <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> är definierad för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 0\, </math>.
+Den matematiska anledningen till denna <strong><span style="color:red">diskontinuitet</span></strong> är att funktionen <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> inte har något värde för <math> x = 0\, </math>. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När <math> x \, </math> närmar sig <math> 0\, </math> går <math> y\, </math> mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> är <strong><span style="color:red">inte definierad för </span></strong> <math> {\color{Red} x = 0}\, </math>. Man måste undanta <math> x = 0\, </math> från funktionens definitionsmängd, dvs <math> y = </math> <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> är definierad för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 0\, </math>.
 Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa</u> <math> x\, </math> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla <math> x\, </math>.