1.2 Faktorisering av polynom - Versionshistorik

Taifun den 15 oktober 2014 kl. 11.09

2014-10-15T11:09:09Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 11.53

2014-08-06T11:53:31Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 11.52

2014-08-06T11:52:03Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 11.10

2014-08-06T11:10:41Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 11.00

2014-08-06T11:00:43Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 10.53

2014-08-06T10:53:30Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 10.50

2014-08-06T10:50:59Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 10.47

2014-08-06T10:47:54Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 10.40

2014-08-06T10:40:58Z

Taifun den 6 augusti 2014 kl. 10.39

2014-08-06T10:39:53Z

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
-[[Media: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|Lektion 3 Faktorisering av polynom]]
+[[Media: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Faktorisering av polynom</span></strong>]]
-[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf|Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning]]
+[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning</span></strong>]]
 __TOC__

← Äldre version		Versionen från 6 augusti 2014 kl. 11.53
Rad 11:		Rad 11:


−	[[~~File~~: ~~Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Ruta~~.pdf\|Lektion 3 Faktorisering av polynom]]	+	[[Media: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf\|Lektion 3 Faktorisering av polynom]]

	[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf\|Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning]]		[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf\|Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning]]

← Äldre version		Versionen från 6 augusti 2014 kl. 11.52
Rad 11:		Rad 11:


−	[[~~Media~~: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Ruta.pdf\|Lektion 3 Faktorisering av polynom]]	+	[[File: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Ruta.pdf\|Lektion 3 Faktorisering av polynom]]

	[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf\|Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning]]		[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf\|Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning]]

@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 ::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math>
 Man inser likheten ovan genom att utveckla högerledet:
 :::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
 Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">nollställen</span></strong>]]. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> till 0 och får följande ekvation:

@@ Rad 22: / Rad 22: @@
 === Exempel ===
-Låt oss återanknyta till [[Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">exempel 1</span></strong>]] från repetitionen om Vieta:
+Vi betraktar följande likhet ([[Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] från tidigare):
 ::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math>
@@ Rad 28: / Rad 28: @@
 Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta <strong><span style="color:red">polynom i faktorform</span></strong> är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math> är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> i sina beståndsdelar <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math>.
-Matematiskt inser man likheten ovan genom att utveckla högerledet:
+Man inser likheten ovan genom att utveckla högerledet:
 :::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
@@ Rad 52: / Rad 52: @@
 * Detta i sin tur innebär att <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> är lösningar till ekvationen ovan.
-Å andra sidan: Pga likheten mellan polynom och dess faktorform måste <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> även vara polynomets nollställen och därmed lösningar till ekvationen:
+Pga likheten mellan polynom och dess faktorform (se ovan) måste <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> även vara polynomets nollställen och därmed lösningar till ekvationen:
 ::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>

@@ Rad 42: / Rad 42: @@
 Så här resonerar nollproduktmetoden:
-* För att produkten i vänsterledet:
+* Vi har ekvationen:
 ::::::<math> (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 </math>
-ska vara lika med <math> 0\,</math> måste antingen den första faktorn <math> (x-3)\, </math> eller den andra faktorn <math> (x-4)\, </math> vara lika med <math> 0\,</math>.
+* För att produkten i vänsterledet ska vara lika med <math> 0\,</math> måste antingen den första faktorn <math> (x-3)\, </math> eller den andra faktorn <math> (x-4)\, </math> vara lika med <math> 0\,</math>.
 * För att <math> (x-3)\, </math> eller <math> (x-4)\, </math> ska vara lika med <math> 0\,</math> måste <math> x\, </math> antingen vara lika med <math> 3\,</math> eller lika med <math> 4\,</math>.

@@ Rad 36: / Rad 36: @@
 ::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>
-Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal <math> x\,</math> för vilka polynomets värde är <math> 0\,</math>. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen <math>(x-3) \cdot (x-4) </math> har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna:
+Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal <math> x\,</math> för vilka polynomets värde är <math> 0\,</math>. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen <math>(x-3) \cdot (x-4) </math> har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna: Det är nollproduktmetoden som vi lärde oss i Matte 2 som visar att <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> är lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>. Här en påminnelse:
 ==== Nollproduktmetoden ====
-Det är denna metod som visar att <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> är lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>. Så här resonerar nollproduktmetoden:
+Så här resonerar nollproduktmetoden:
 * För att produkten i vänsterledet:

@@ Rad 119: / Rad 119: @@
 ----
 '''Sats (Faktorisering med 1 nollställe)''':<big>
-:Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> endast har ett nollställe <math> x_1\, </math> så gäller:
+::Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> endast har ett nollställe <math> x_1\, </math> så gäller:
-::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math>
+:::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math>
-:Ett sådant nollställe kallas för <strong><span style="color:red">dubbelrot</span></strong> till ekvationen <math> x^2 + p\,x + q = 0 </math>.
+::Ett sådant nollställe kallas för <strong><span style="color:red">dubbelrot</span></strong> till ekvationen <math> x^2 + p\,x + q = 0 </math>.
 ----
 </big>